BAB 0. Pendahuluan

0.1 Bilangan Real, Estimasi, dan Logika

---

Bilangan Asli, Integer, dan Rasional

⚙ Himpunan bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli. Bilangan asli atau bilangan bulat positif digunakan untuk berhitung.

Ketika kita perluas dengan bilangan-bilangan negatif dan nol, kita mendapat bilangan bulat.

Bilangan yang dapat dinyatakan dalam $\frac{a}{b}$ dengan $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat dan $b \neq 0$ disebut sebagai bilangan rasional.

Bilangan Irasional, Bilangan Real & Sistem Bilangan

⚙ Bilangan seperti $\pi, \sqrt{2},$ tidak dapat diekspresikan sebagai pembagian dari dua bilangan bulat. Bilangan-bilangan ini disebut sebagai bilangan irasional.

Gabungan dari bilangan rasional dan irasional adalah bilangan real ($\mathbb{R}$).

Desimal Berulang dan Tidak Berulang

⚙ Setiap Bilangan Rasional $(\mathbb{Q})$ bisa ditulis sebagai desimal yang terbatas atau dengan pola berulang, contoh:

Sedangkan representasi desimal untuk Bilangan Irasional tidak memiliki pola berulang, contoh:

✍🏼 Tulis desimal berulang berikut dalam bentuk pecahan ganti!

$0,123123...$ ****[ITB ‘18]****

• Solusi

  Kita misalkan:

  $$⁍$$

  Karena perulangan setiap 3 bilangan kita kalikan $x$ dengan $10^3$, sehingga:

  $$⁍ ⁍$$
  $$⁍ ⁍$$

  Lalu $\left ( 2 \right )-\left ( 1 \right )$:

  $$⁍$$
  $$\therefore x = \frac{123}{999}$$

Logika

⚙ Hasil pemikiran penting dalam matematika disebut sebagai teorema. Tidak seperti aksioma dan definisi yang diterima begitu saja, teorema butuh pembuktian. Teorema dapat dituliskan dalam bentuk implikasi “Jika $P$, maka $Q$”, biasa ditulis: $P \Rightarrow Q$

Banyak sekali yang bingung dan suka terbalik antara “Jika $P$, maka $Q$” dengan “Jika $Q$, maka $P$”. Mereka TIDAK sama!

Contoh:

$\textup{"Jika kuliah, maka lulus SMA"}$ adalah pernyataan yang tepat karena lulus SMA merupakan prasyarat masuk kuliah. Tetapi pernyataan $\textup{"Jika lulus SMA, maka kuliah"}$ tidak tepat karena jika lulus SMA, belum tentu lanjut kuliah.

Faktanya, hanya ~50% dari lulusan SMA di Indonesia yang lanjut kuliah.

💡 Hubungan $"\textup{Jika P, maka Q}"$ itu menyatakan bahwa $P$ adalah subset dari $Q$. Kalau dalam contoh $\textup{"Jika kuliah, maka lulus SMA"}$, berarti semua mahasiswa sudah lulus SMA.

Simbol Logika

⚙ Berikut beberapa simbol logika dan maknanya

0.2 Pertidaksamaan dan Nilai Mutlak

---

Interval

⚙ Pertidaksamaan dengan bentuk $a<x<b$ yang sebenarnya terdiri dari dua pertidaksamaan:

1. $x>a$, dan

2. $x<b$,

   mendeskripsikan interval terbuka yang terdiri dari bilangan di antara $**a$ dan $b$** (tidak termasuk $a$ dan $b$).

Sedangkan $a \leq x \leq b$ mendeskripsikan interval tertutup yang terdiri dari bilangan dari $a$ sampai $b$ (termasuk $a$ dan $b$).

Cara lain menuliskan interval adalah dengan notasi interval:

Menyelesaikan Pertidaksamaan

⚙ Menyelesaikan pertidaksamaan biasa diperlukan transformasi hingga solusi didapat.

Operasi pada kedua sisi pertidaksamaan yang biasa dilakukan:

1. Menambah bilangan yang sama pada kedua sisi pertidaksamaan

   $$⁍$$
   $$a+2<b+2$$

2. Mengkalikan dengan bilangan positif yang sama pada kedua sisi pertidaksamaan

   $$⁍$$
   $$2a<2b$$

3. Mengkalikan dengan bilangan negatif yang sama pada kedua sisi pertidaksamaan, tapi dengan membalik tanda pertidaksamaan

   $$⁍$$
   $$⁍$$

Nilai Mutlak

⚙ Operasi nilai mutlak memetakan semua bilangan ke versi positifnya.

Contoh:

Pertidaksamaan dengan Nilai Mutlak

⚙ Pertidaksamaan melibatkan mutlak $x$ dapat ditulis menjadi dua pertidaksamaan,

dan

💡 Perhatikan bahwa pertidaksamaan $|x| < a$ ekivalen dengan $x>-a \textbf{ dan } x<a$, sementara pertidaksamaan $|x| > a$ ekivalen dengan $x<-a \textbf{ atau } x>a$.

✍🏼 Selesaikan pertidaksamaan berikut!

1. $-2x+3 \leq 6$

• Solusi

  Kita akan isolasi suku yang memuat $x$ di salah satu ruas. Kita lakukan ini dengan menjumlahkan kedua ruas dengan $-3$:

  $$-2x \leq 3$$

  Kemudian seperti menyelesaikan persamaan biasa, kita akan kalikan kedua ruas dengan $-\frac{1}{2}$. Tetapi ingat, perkalian dengan bilangan negatif dalam pertidaksamaan nilai mutlak mengakibatkan pembalikan tanda:

  $$\therefore x \geq -\frac{3}{2}$$

1. $|-2x+3| \leq 6$

• Solusi

  Ingat bahwa dalam pertidaksamaan nilai mutlak, $|x| \leq a$ dapat ditulis sebagai $-a \leq x \leq a$.

  $$-6 \leq -2x + 3 \leq 6$$

  Kita akan isolasi suku yang memuat $x$ di ruas yang tengah. Kita lakukan ini dengan menjumlahkan kedua ruas dengan $-3$:

  $$-9 \leq -2x \leq 3$$

  Kemudian seperti menyelesaikan persamaan biasa, kita akan kalikan kedua ruas dengan $-\frac{1}{2}$. Tetapi ingat, perkalian dengan bilangan negatif dalam pertidaksamaan nilai mutlak mengakibatkan pembalikan tanda:

  $$\therefore -\frac{3}{2} \leq x \leq \frac{9}{2}$$

1. $|-2x+3| > 6$

• Solusi

  Ingat bahwa dalam pertidaksamaan nilai mutlak, $|x| >a$ dapat ditulis sebagai $x < -a \text{ atau } x > a$.

  $$-2x+3 < -6 \text{ atau } -2x+3 > 6$$

  Kita akan isolasi suku yang memuat $x$ di salah satu ruas. Kita lakukan ini dengan menjumlahkan kedua ruas dengan $-3$:

  $$-2x < -9 \text{ atau } -2x > 3$$

  Kemudian seperti menyelesaikan persamaan biasa, kita akan kalikan kedua ruas dengan $-\frac{1}{2}$. Tetapi ingat, perkalian dengan bilangan negatif dalam pertidaksamaan nilai mutlak mengakibatkan pembalikan tanda:

  $$\therefore x > \frac{9}{2} \text{ atau } x < -\frac{3}{2}$$